Pour savoir pour quel \alpha>0 la série \sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha} est convergente, on fait une comparaison avec une intégrale, c'est-à-dire on démontre (par exemple par un dessin) l'encadrement suivant, valable pour tout entier n > 1,

\int_2^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\;<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\int_1^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\:.

Par intégration il en résulte que

 \begin{align*} \frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-\frac1{2^{\alpha-1}}\right)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-1\right)\qquad\text{ pour }\alpha\neq1\:,\\&\\&\ \ln (n) - \ln (2)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k}\;<\;\ln (n) - \ln (1)\:. \end{align*}

En faisant tendre n vers l'infini on conclût que la série converge si \alpha>1 et diverge vers l'infini si \alpha\leq1\,.

Question de colle :

Soit \sum_{k=1}^\infty\,u_k une série convergente. Est-il vrai que \sum_{k=1}^\infty\,u_k^3 est également convergente ?